Distribución Binomial

La Distribución Binomial:

Es un ejemplo de las denominadas distribuciones discretas de probabilidad, estas distribuciones son aquellas que solo pueden tomar valores finitos o infinitos numerables.

 Esta distribución fue desarrollada por Jakob Bernoulli, quien fue el autor de uno de los documentos más importantes de probabilidad denominada “Ars Conjectandi” en el año de 1713.

Se desarrolló bajo la idea de encontrar la probabilidad de obtener exactamente el número de posibles éxitos en un determinado número de ensayos. Por lo tanto, si se tiene un experimento aleatorio solo se consideran dos resultados, la ocurrencia del evento A y la no ocurrencia del evento A, a partir de esto se determinará una variable que contará el número de éxitos, esta variable comúnmente se llama X y al ser discreta puede tomar los siguientes valores:

0,1,2,3,4, 5, …, n. la distribución binomial se desarrolló como una generalización del experimento de Bernoulli.

 La distribución binomial es una de las distribuciones de probabilidad más trabajada, ya que esta puede ser aplicada en casi todas las disciplinas, es utilizada en todas las situaciones que para llegar a su solución se tengan dos resultados posibles, o cuando sus resultados puedan ser reducidos a dos opciones.

Aplicabilidad: 

Ejemplos de situaciones en las que se puede hacer uso de la distribución

binomial son diversos, algunas de ellas son:

ü  El nacimiento de un bebé. (Puede ser masculino o femenino)

ü  En una competencia se puede ganar o no ganar.

ü  En una prueba escrita la respuesta puede ser falsa o verdadera.

ü  Un tratamiento médico puede ser efectivo o inefectivo.

ü  En una empresa se pueden cumplir las metas de ventas o no Cumplirlas.

ü  En una evaluación académica apruebas o repruebas.

 

Para este tipo de distribución de probabilidad, la función matemática es la siguiente:

 

Formula Binomial.

 

Donde:

 

P(X) = probabilidad de X éxitos dados los parámetros n y p

 

n = tamaño de la muestra

 

p = probabilidad de éxito

 

1 – p = probabilidad de fracaso

 

X = número de éxitos en la muestra ( X = 0, 1, 2, …….. n)

Condiciones:

1.       La distribución binomial es una distribución de probabilidades que surge al cumplirse las siguientes condiciones:

2.       El número de ensayos o repeticiones del experimento (n) es constante.

3.       En cada ensayo hay sólo dos posibles resultados (éxito o fracaso, defectuoso o no defectuoso).

4.       La probabilidad de cada resultado posible en cualquier ensayo permanece constante.

5.       En cada ensayo, los dos resultados posibles son mutuamente excluyentes.

6.       Los resultados de cada ensayo son independientes entre sí.

Antecedentes teóricos:

La distribución binomial fue desarrollada por Jakob Bernoulli (Suiza,1654-1705) y es la principal distribución de probabilidad discreta para variables dicotómicas, es decir, que sólo pueden tomar dos Page 3 La distribución binomial 3 posibles resultados. Bernoulli definió el proceso conocido por su nombre.

La historia de la probabilidad comienza en el siglo XVII cuando Pierre Fermat y Blaise Pascal tratan de resolver algunos problemas relacionados con los juegos de azar. Aunque algunos marcan sus inicios cuando Cardano (jugador donde los haya) escribió sobre 1520 El Libro de los Juegos de Azar (aunque no fué publicado hasta más de un siglo después, sobre 1660) no es hasta dicha fecha que comienza a elaborarse una teoría aceptable sobre los juegos.

 

Christian Huygens conoció la correspondencia entre Blaise Pascal y Pierre Fermat suscitada por el caballero De Méré, se planteó el debate de determinar la probabilidad de ganar una partida, y publicó (en 1657) el primer libro sobre probabilidad: De Ratiociniis in Ludo Aleae, (Calculating in Games of Chance), un tratado sobre juegos de azar. Se aceptaba como intuitivo el concepto de equiprobabilidad, se admitía que la probabilidad de conseguir un acontecimiento fuese igual al cociente entre

 

Durante el siglo XVIII, debido muy particularmente a la popularidad de los juegos de azar, el cálculo de probabilidades tuvo un notable desarrollo sobre la base de la anterior definición de probabilidad. Destacan en 1713 el teorema de Bernoulli y la distribución binomial, y en 1738 el primer caso particular estudiado por De Moivre » , del teorema central del límite. En 1809 Gauss » inició el estudio de la teoría de errores y en 1810 Laplace, que había considerado anteriormente el tema, completó el desarrollo de esta teoría. En 1812 Pierre Laplace » publicó Théorie Analytique des Probabilités en el que expone un análisis matemático sobre los juegos de azar.

 

A mediados del siglo XIX, un fraile agustino austríaco, Gregor Mendel, inició el estudio de la herencia, la genética, con sus interesantes experimentos sobre el cruce de plantas de diferentes características. Su obra, La matemática de la Herencia, fue una de las primeras aplicaciones importantes de la teoría de probabilidad a las ciencias naturales.

 

Acá abajo hay un vídeo referente al tema con ejercicios aplicados a la Ingeniería de Sistemas: