Temas Básicos de Probabilidad y Estadística

 

  Distribución hipergeométrica Hasta ahora se ha analizado distribuciones que modelizaban situaciones en las que se realizaban pruebas que entrañaban una dicotomía (proceso de Bernouilli) de manera que en cada experiencia la probabilidad de obtener cada uno de los dos posibles resultados se mantenía constante. Si el proceso consistía en una serie de extracciones o selecciones ello implicaba la reposición de cada extracción o selección, o bien la consideración de una población muy grande. Sin embargo si la población es pequeña y las extracciones no se remplazan las probabilidades no se mantendrán constantes. En ese caso las distribuciones anteriores no nos servirán para la modelizar la situación. La distribución hipergeométrica viene a cubrir esta necesidad de modelizar procesos de Bernouilli con probabilidades no constantes (sin reemplazamiento) .     La distribución hipergeométrica es especialmente útil en todos aquellos casos en los que se extraigan muestras o se r...

  La distribución exponencial tiene una gran utilidad práctica ya  que podemos considerarla como un modelo adecuado para la distribución de probabilidad del tiempo de espera entre dos hechos que sigan un proceso de Poisson.  De hecho la distribución exponencial puede derivarse de un proceso experimental de Poisson con las mismas características que enunciadas al estudiar la distribución de Poisson, pero tomando como variable aleatoria, en este caso, el tiempo que tarda en producirse un hecho. Obviamente, entonces, la variable aleatoria será continua. Por otro lado existe una relación entre el parámetro a de la distribución exponencial, y el parámetro de intensidad del proceso l, esta relación es a = l. usos: Al ser un modelo adecuado para estas situaciones tiene una gran utilidad en los siguientes casos: ·                Distribución del tiempo de espera entre sucesos de un...

La Distribución de Bernoulli:      La distribución de Jacob Bernoulli un gran científico matemático y físico nacido en en el año 1654 y muere en el año 1704, sus grandes paciones eran la matemática y la física peo su padre lo mando a estudiar filosofía y teología lo cual causo un resentimiento de parte de Jacob hacia su padre , pero al final siguió sus sueños y hoy en día lo conocemos como un gran científico gracias a sus aportes como el principio de Bernoulli que hace una relación entre la velocidad y la presión y dicho principio es utilizado para que los aviones no se caigan a la hora de volar. En matemáticas acercándose al área de la probabilidad con la distribución de Bernoulli  Que dice que : nos dice que en un experimento aleatorio solo deben haber dos posibilidades a la cual podemos llamar éxito o fracaso Que es un experimento aleatorio: es un experimento donde no sabemos el resultado como por ejemplo lanzar un dado, una moneda, hacer preguntas genéricas a un...

 

DISTRIBUCIÓN DE POISSON: La distribución de Poisson    es una distribución de probabilidad discreta que se aplica a las ocurrencias de algún suceso durante un intervalo determinado. La variable aleatoria   x  representa   el número de ocurrencias de un suceso en un intervalo determinado , el cual podrá ser tiempo, distancia, área, volumen o alguna otra unidad similar o derivada de éstas. Donde se cumplen ciertas características   como:      §    E s la media del número de sucesos en el intervalo que estemos tomando, ya sea de tiempo, distancia, volumen, etc. Es importante entender que este valor es una media en el sentido estrictamente estadístico de la palabra y como tal se calculará mediante dicha expresión y no debe calcularse nunca con una regla de proporcionalidad o regla de tres. § Se debe cumplir la condición de normalización   . § La desviación típica      § Cuando realizamos un expe...

La Distribución Binomial: Es un ejemplo de las denominadas distribuciones discretas de probabilidad, estas distribuciones son aquellas que solo pueden tomar valores finitos o infinitos numerables.   Esta distribución fue desarrollada por Jakob Bernoulli, quien fue el autor de uno de los documentos más importantes de probabilidad denominada “Ars Conjectandi” en el año de 1713. Se desarrolló bajo la idea de encontrar la probabilidad de obtener exactamente el número de posibles éxitos en un determinado número de ensayos. Por lo tanto, si se tiene un experimento aleatorio solo se consideran dos resultados, la ocurrencia del evento A y la no ocurrencia del evento A, a partir de esto se determinará una variable que contará el número de éxitos, esta variable comúnmente se llama X y al ser discreta puede tomar los siguientes valores: 0,1,2,3,4, 5, …, n. la distribución binomial se desarrolló como una generalización del experimento de Bernoulli.   La distribución binomial es una...

La Distribución Beta: Representa una familia de distribuciones de probabilidad continuas con soporte en el intervalo (0,1). La densidad beta es caracterizada por dos parámetros positivos, indicados generalmente por α y β o u y v, que son parámetros de localización y de escala. La distribución beta ha sido aplicada para modelar el comportamiento de variables aleatorias limitadas a intervalos de amplitud finita, en una gran variedad de áreas, que puede tener variados comportamientos, dependiendo de los valores de los parámetros, desde comportamientos simétricos hasta totalmente asimétricos. Se entiende pues a la distribución beta como: Valor comprendido entre 0 y 1 que mide cuánto se equivoca el investigador al aceptar como verdadera la hipótesis nula de un test de hipótesis. Cuanto más próximo a cero esté, menor será el riesgo de establecer hipótesis falsas en la población de estudio. La distribución beta suele utilizarse para modelar la distribución de estadísticos de orden (por ejempl...

La Distribución Gamma:      E s una distribución adecuada para modelizar el comportamiento de variables aleatorias continuas con asimetría positiva. Es decir, variables que presentan una mayor densidad de sucesos a la izquierda de la media que a la derecha. En su expresión se encuentran dos parámetros, siempre positivos, (α) y (β) de los que depende su forma y alcance por la derecha, y también la función Gamma Γ(α), responsable de la convergencia de la distribución. Los parámetros de la distribución: El primer parámetro (α) sitúa la máxima intensidad de probabilidad y por este motivo en algunas fuentes se denomina “la forma” de la distribución: cuando se toman valores próximos a cero aparece entonces un dibujo muy similar al de la distribución exponencial. Cuando se toman valores más grandes de (α) el centro de la distribución se desplaza a la derecha y va apareciendo la forma de una campana de Gauss con asimetría positiva.  Es el segundo parámetro (β) el que d...

 La Distribución Normal:  Fue reconocida por primera vez por el francés Abraham de Moivre (1667-1754).  Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) elaboró desarrollos más profundos y formuló la ecuación de la curva; de ahí que también se la conozca, más comúnmente, como la "campana de Gauss". La distribución normal es un modelo teórico capaz de aproximar satisfactoriamente el valor de una variable aleatoria a una situación ideal. En otras palabras, la distribución normal adapta una variable aleatoria a una función que depende de la media y la desviación típica. Es decir, la función y la variable aleatoria tendrán la misma representación pero con ligeras diferencias.  La distribución de una variable normal está completamente determinada por dos parámetros, su media y su desviación estándar, denotadas generalmente por  y . Con esta notación, la densidad de la normal viene dada por la ecuación:   Ecuación 1:       ...